规范场

规范场（gauge field），是一个描述时空、物质生成及其相互作用的数学框架，通过统一和自洽的方式解释自然界的基本物理现象（如电磁力、弱力和强力）。

阿尔伯特·爱因斯坦之后，越来越多的物理学家在追求统一的理论——基本粒子与基本作用的统一。爱因斯坦试图用统一场论来实现这种统一。后来人们常说的“大统一”“统一场论”有不同的含义。起初指电磁场和引力场的统一。爱因斯坦于1920年3月3日在致马克斯·玻恩的信中说，他已经用相对论的观点来思考量子理论的问题，他想用连续性和因果性推导出奥格·玻尔的量子条件，但未成功。他在1920年的《以太和相对论》一文中说：“量子论所概括的事实有可能会给场论设下无法逾越的界限。”20世纪30年代初，恩里科·费米提出弱相互作用的看法，1935年汤川秀树提出强相互作用的猜想。所以物理学家就开始追求电磁作用、强作用和弱作用的统一。1954年杨振宁和赖特·米尔斯提出了规范场理论。1971年荷兰的20多岁的研究生霍夫特证明，规范场是一种关于粒子相互作用的理论。杨振宁于1995年因规范场理论获美国鲍尔科学成就奖。

规范场可以看作是詹姆斯·麦克斯韦电磁场的推广。同规范场相对应的粒子是规范粒子，它们都是相互作用的媒介粒子。弱作用和强作用也是由交换某种量子引起的，也就是说，粒子之间的相互作用都以一定的粒子为媒介。从规范场的角度来看，弱作用由交换中间向量玻色子引起，强作用由交换胶子引起。规范场与纤维丛具有密切的关联，二者虽源于不同的学科领域，却殊途同归、同气连枝。规范场可以看作是纤维丛上的一个联络，用于描述纤维丛上的平行移动；而纤维丛上的结构群作用就是一个规范变换。规范场论对科学的影响是深远的，它不仅推动了物理学的发展，也为其他领域如数学、信息科学、经济学和哲学提供了新的思想和方法。2020年11月19日，题目为“Observation of gauge invariance in a 71-site Bose-Hubbard quantum simulator（在71格点萨特延德拉·玻色哈伯德量子模拟器中观测到规范不变性）”的论文发表于《自然》（Nature）杂志，该内容是中国科学技术大学潘建伟、苑震生等与德国海德堡大学、特兰托大学的合作者在71格点的光晶格量子模拟器中成功实现了对量子电动力学中方程的模拟，首次使用微观量子调控手段在量子多体系统中验证了描述电荷与电场关系的高斯定律。2021年3月，中国科学院院士、中国科学技术大学教授郭光灿团队的董春华研究组打破以往需多个微腔构建人工规范场的常规，利用回音壁模式微腔的多模相互作用实现突破。2025年9月，中国科学技术大学潘建伟、苑震生团队搭建可编程光学超晶格量子模拟平台，把格点施温格模型映射至光晶格超冷原子的玻色 - 哈伯德模型，通过精确控制原子之间的相互作用，实现对系统初态的可控制备和多参数演化。

名词定义

规范场论，是一个描述时空、物质生成及其相互作用的数学框架，通过统一和自洽的方式解释自然界的基本物理现象（如电磁力、弱力和强力）。规范场与纤维丛具有密切的关联，二者虽源于不同的学科领域，却殊途同归、同气连枝。规范场可以看作是纤维丛上的一个联络，用于描述纤维丛上的平行移动；而纤维丛上的结构群作用就是一个规范变换。规范场论对科学的影响是深远的，它不仅推动了物理学的发展，也为其他领域如数学、信息科学、经济学和哲学提供了新的思想和方法。

起源与发展

起源

规范场概念源于人们对时空和运动本质的思考。规范场译自英文“gauge field”，而gauge本意为“测量”，可知规范场是与（时空）度量相关的概念。简单来说，规范场的引入是为了使一个物理系统的某一作用量在不同的变换下保持不变。为了理解其背后的深刻内涵，要先从“对称性”说起。对称性包括全局对称性与局域对称性。

阿尔伯特·爱因斯坦之后，越来越多的物理学家在追求统一的理论——基本粒子与基本作用的统一。爱因斯坦试图用统一场论来实现这种统一。后来人们常说的“大统一”“统一场论”有不同的含义。起初指电磁场和引力场的统一。20世纪30年代初，恩里科·费米提出弱相互作用的看法，1935年汤川秀树提出强相互作用的猜想。所以物理学家就开始追求电磁作用、强作用和弱作用的统一。1958年海森伯格提出了把所有场统一起来的目标，但没有成功。如果这个目标达到了，那阿尔伯特·爱因斯坦的“从科学的统一理论基础推导出所有自然科学知识”的梦想就会实现。这种统一理论就被许多科学家理解为包罗万物的终极理论，追求统一和追求终极就联系起来了。

爱因斯坦于1920年3月3日在致马克斯·玻恩的信中说，他已经用相对论的观点来思考量子理论的问题，他想用连续性和因果性推导出奥格·玻尔的量子条件，但未成功。他在1920年的《以太和相对论》一文中说：“量子论所概括的事实有可能会给场论设下无法逾越的界限。”

他说，量子理论与相对论“两者在一定意义上都被认为是正确的，虽然迄今为止想把它们融合起来的一切努力都遇到了抵制。这也许就是当代理论物理学家中，对于未来物理学的理论基础将是怎样的这个问题存在着完全不同意见的原因”。后来他在量子力学诠释方面，同哥本哈根学派展开了长时间的争论。这场争论说明很难把广义相对论和量子力学统一起来。宏观领域可以不考虑强作用和弱作用，微观领域可以不考虑引力作用。二者在一系列基本问题上立场相悖，如实在与观测的关系、是连续性还是间断性、是物质运动方程还是几率运动方程、定域性原则是否具有普遍性等等。格林说：“现代物理学所依赖的是两大支柱。一个是阿尔伯特·爱因斯坦的相对论，它为我们从大尺度认识宇宙（如恒星、星系、星系团以及比它们更大的宇宙自身的膨胀）提供了理论框架；另一个是量子力学，我们用这个框架认识了小尺度下的宇宙：分子、原子以及比原子更小的粒子，如电子和夸克。几十年来，两个理论的差不多所有预言都在实验上被物理学家以难以想象的精度证实了。但同样的这两个理论工具，却无情地把我们引向一个痛苦的结论：从广义相对论和量子力学今天的形式看，它们不可能都是正确的。在过去的百年里，我们获得了巨大的进步——解释了宇宙的膨胀，也认识了物质的基本结构——然而，作为这些进步的基础的两个理论，却是水火不相容的。”③这两大理论在各自的领域都是正确的，但二者的统一的确遇到了很大的困难。

追求统一是当代物理学的主流，场论与弦论是两类基本理论，量子场论、弦理论、量子宇宙学是主要成果。一些科学家试图用场来描述粒子及其相互作用。在这方面，已有詹姆斯·麦克斯韦电磁场理论、亨德里克·洛伦兹的电子理论、阿尔伯特·爱因斯坦的引力场理论。考虑量子效应的场论是量子场论。20世纪40年代，经典的电磁理论、电子理论开始同量子力学相结合，出现了量子电动力学。1949年理查德·费曼把狭义相对论和量子力学统一起来，指出两个电子碰撞时交换光子。量子电动力学是量子场论的一个分支。

发展

全局对称性是指一个系统的状态在某种变换下不变，这种变换不依赖于时空坐标。当对整个系统施加该变换（如旋转、平移）时，其物理性质保持不变，即系统的拉格朗日量（描述系统动力学的量）不发生改变。例如，在一个具有全局对称性的粒子系统中，将所有粒子的电荷同时改变一个固定的相位，物理定律仍然保持不变。局域对称性则是指在依赖于时空坐标的变换下系统的状态保持不变，即当对系统的某个局域施加某种变换时，整个系统的物理性质保持不变。这意味着不同位置或不同时间的变换可以是不同的。例如，在电磁理论中，在空间的不同位置独立地改变电荷的相位，整个电磁理论仍然保持不变。规范对称性是为了在某种程度上保证自然法则的“公正性”的一种局域对称性，通过引入规范场（满足局域对称性的场），每一个时空点都可以进行变换而不改变物理规律。

规范场存在的本质是系统具有“冗余”性（即规范冗余，或规范不确定性）。冗余是规范场论中一个非常重要的概念。如前所述，规范对称性表明对一个系统施加某个局域规范变换，并不改变该系统的物理性质。这意味着存在多种不同的方式来描述同一个物理系统，每一种描述实际上都代表着同一种物理现象，这种现象即称为“冗余”。冗余并不是我们常说的“多余”或者“无用”，而是系统的一个基本特性。实际上，正是这种冗余能够引入规范场，从而描述物质间的相互作用。描述物理状态所需的最少参数数目称为“自由度”。引入规范场的目的就是尽可能地消除冗余，以得到真正的自由度，进而确定可观测的物理量。例如，在电磁理论中，可以选择许多不同的规范来描述电磁场，如亨德里克·洛伦兹规范或库仑规范。不同的规范给出的电磁场看起来可能完全不同，但实际上描述的是同一物理现象。规范冗余是规范场论的一个核心特性，它源自规范对称性，是描述和理解相互作用的关键所在。

最早的规范场论是电磁理论，麦克斯韦方程组实质上就是一种规范场论的表达形式。但真正的规范场概念是在相对论被发现之后才诞生的。狭义相对论和广义相对论分别使我们重新认识了电磁场和引力场。在相对论思想的启发下，20世纪20年代，赫尔曼·外尔试图将电磁力与引力统一起来。借鉴广义相对论中时空距离随时空位置而变的思想，来寻找电磁力与引力背后共同的规范对称性，最终提出了基于阿贝尔群的局域规范不变性原理。之后经过沃尔夫冈·泡利、内山菱友等人的发展，杨振宁和赖特·米尔斯于1954年提出了杨-米尔斯理论。杨-米尔斯理论是一种基于非阿贝尔群的更通用的规范场论，最初是为了解释原子核内粒子间的同位旋作用，其核心是杨-米尔斯方程。杨-米尔斯理论是粒子物理标准模型的理论基础，与电弱理论和量子色动力学相结合，构成了对自然界除引力外的三种基本力的统一描述。1956年，杨振宁与李政道提出宇称守恒定律不适用于弱相互作用，被吴健雄的实验所证实，因此获得次年的诺贝尔奖。格拉肖、温伯格、萨纳姆三位物理学家把弱相互作用和电磁相互作用统一在了GWS弱电理论下，并因此获得了1979年的诺贝尔物理学奖；后来，标准模型又把强相互作用包括进来，自此三大工种被统一到了一个框架下。

1995年，规范场理论获美国鲍尔科学成就奖，是荣获该奖的第一位物理学家。有几位物理学家因为成功地运用了规范场理论，而获得诺贝尔奖。如1984年鲁比亚和凡德米尔因发现W⁺和Z⁰粒子而获诺贝尔奖，这些粒子其实均是规范粒子（杨-米尔斯类的粒子）。所以很多人都认为杨振宁的规范场论也应获诺贝尔奖。此外还有杨振宁-巴克斯特方程，以及他在统计力学、凝聚态物理学等方面的成就，使他成为一代科学大师。他在芝加哥大学学习时，本想作一篇实验论文，可是他后来说他动手能力不行，当时实验室有句话说：“凡是有爆炸的地方一定有杨振宁。”他从此致力于理论物理研究。在普林斯顿大学研究所期间，阿尔伯特·爱因斯坦曾找他谈统计力学问题。丁肇中在《杨振宁小传》中说：“国人在国际科学坛上有建立不朽之功绩者，乃至杨振宁始。”“杨教授为人耿直，教诲不倦。聪敏过人而治学严谨。年逾耳顺而精神蓬勃，是年轻人无上的榜样。”杨振宁著《基本粒子及其相互作用》一书的扉页上印有一段文字：“杨振宁教授是20世纪最伟大的物理学家之一，他是炎黄子孙的骄傲，亿万华人的楷模。他的科学思想、人文精神，以及睿智而深沉的思考，已成为中华文化宝库中的一部分。”

规范场理论

规范场可以看作是詹姆斯·麦克斯韦电磁场的推广。同规范场相对应的粒子是规范粒子，它们都是相互作用的媒介粒子。弱作用和强作用也是由交换某种量子引起的，也就是说，粒子之间的相互作用都以一定的粒子为媒介。从规范场的角度来看，弱作用由交换中间向量玻色子引起，强作用由交换胶子引起。1971年荷兰的20多岁的研究生霍夫特证明，规范场是一种关于粒子相互作用的理论。可以用规范场来描述这些粒子及其相互作用，相对论中的引力场、量子电动力学中的电磁场、量子色动力学中的胶子场、量子味动力学中的光子场、中间矢量玻色子场都可以看作是规范场的不同形式。杨振宁说：“最后的粒子是什么，基本力量是什么，这就是基本物理学研究的主要内容。”“四种力和它们的能都是规范场，这是近三十年来的一项基本了解。”

在杨-米尔斯理论的基础上，科学家建立了标准模型。加来道雄说：“今天，杨-米尔斯场已经使建立一种关于所有物质的无所不包理论成为可能。事实上，我们如此坚信这一理论，以至于满不在乎地称它为标准模型。”丁肇中则称规范场理论“是一个划时代的创作，不但成为今日理论的基石，并且在相对论上及在纯粹数学上也有重大的意义”。

规范场理论是非线性的量子场论。量子场论是研究基本粒子及其相互作用的主要理论工具。各种粒子都具有特殊的场（电场、质子场、介子场等），量子场的激发和退激是粒子产生和消失的过程。量子场的基态（能量最低状态）是真空。真空是物质的一种特殊形态。真空中有各种虚粒子，并同实粒子相互转化。各种量子场在真空中不停地振荡。由于相互作用，虚粒子不断产生、消失、转化。真空是各种虚粒子组成的波涛起伏的海洋。有人认为量子场论中的真空颇像我国古代元气说中的气。量子场论在计算低近似下的电磁作用与弱作用同时实验相当吻合，但在作高级近似时却遇到计算中出现无穷大的发散困难。20世纪40年代以后，出现了重整化方法，即按一定法则把导致无穷大的因子提出，用质量、电荷等实验观测值取代，克服了发散的困难。

后来杨振宁发现规范场的方程同陈省身的纤维丛理论有密切关系，表明规范场也可以几何化。虽然在杨振宁看来量子场论同阿尔伯特·爱因斯坦的统一场论不是一回事，但他说：“尽管爱因斯坦的尝试没有得到成功，尽管爱因斯坦统一场的尝试受到许多说出来的或没有说出来的批评，也尽管有些人说爱因斯坦的工作完全是枉费心机，但爱因斯坦仍坚持他的基本观念，即物理学的伟大目标，是场的理论的统一。”他认为20世纪60年代温伯格、萨拉姆和格拉肖提出的弱电统一理论表明这一目标已部分实现。

规范场分析

下面运用初等数学和微积分知识，通过求解函数变换中的导数协变问题来理解规范场的概念。

设有一个物理量，用函数表示，另有一函数与之相乘，将该物理量变换为中的符号不是数学中的求导符号，此处用于表示变换后的函数）。为研究该物理量的变化，通常要对其求导。为讨论方便，定义导数符号，则，。根据求导法则，将展开：

一般情况下，，或者说，偏导数不是“协变”的（除非为常数，即。为了使系统保持规范对称性，即对变换后，新物理量的导数能够表示为乘以原函数的导数：（即物理量及其导数都以同样的规律进行变换）。此处考虑引入变量A，并定义一个新的偏导数符号，则。和A变换后分别记为，。为了确定，将展开：

为了使导数在函数变换后保持同样的变换形式（协变），即，变换后的应满足：。

由此可知，所引入的变量A在变换过程中起到了一定的“规范”作用，在场论中被称为“规范场”，而即为“协变导数”。

建立模型

基于规范理论，物理学家建立了标准模型，可以很好地描述组成物质世界的基本粒子及其之间的强、弱、电磁相互作用。而规范不变性作为“理论背后的理论”，是构造规范理论的基本原理。

中国科学技术大学潘建伟、苑震生等与德国海德堡大学、特兰托大学的合作者在超冷原子量子计算和模拟领域取得重要突破：在71格点的光晶格量子模拟器中成功实现了对量子电动力学中方程的模拟，首次使用微观量子调控手段在量子多体系统中验证了描述电荷与电场关系的高斯定律。此工作提供了一种新方式，利用实验上高度可控的规模化量子模拟器来探究基础物理的规范对称性。题目为“Observation of gauge invariance in a 71-site Bose-Hubbard quantum simulator（在71格点萨特延德拉·玻色哈伯德量子模拟器中观测到规范不变性）”的论文于北京时间2020年11月19日发表于《自然》（Nature）杂志。

至此，潘建伟教授领导的研究团队在使用超冷原子产生大规模量子纠缠态进行量子计算、构建拓扑量子计算系统、模拟凝聚态超流模型、模拟人工规范场、开展超冷化学研究等方面取得了丰硕的原创科研成果，已在Nature(1)、Science(3)、Nature Physics(5)和PRL(8)上发表论文17篇，成为国际上超冷原子量子计算和量子模拟领域的领跑团队之一。

当量子模拟遇上规范场

既然规范场理论在物理学大厦中扮演如此重要的地位，科学家们也就一直想通过计算机来求解动力学规范理论，但是规范场方程求解的计算复杂度非常高，即便是经典的超级计算机，也面临着巨大的困难，而量子模拟（计算）具有与经典计算不同的运行模式，在复杂问题求解上已经展现出诱人的前景。“自然不是经典的，如果你想对自然进行模拟，那么你最好把计算机给量子化。”早在1982年，著名物理学家理查德·费曼就提出了利用一个可控的人造量子系统来模拟另一个我们感兴趣的现实的复杂量子体系的原始想法。随着最近几十年技术的发展，人们可以对越来越大的量子体系实现每个原子、分子等的精细操控，量子模拟不断取得突破，在量子多体问题、高温超导、量子化学、原子分子物理以及基础物理等领域已经发挥了重要作用。

针对规范理论动力学的量子模拟，研究人员也已经在陷俘离子、超导量子比特、冷原子等不同物理体系中开展了一些理论和实验工作。相较于对凝聚态物理、材料结构、化学反应的量子模拟，无论理论上还是实验上，模拟规范理论都具有更大的困难，这主要体现在：规范理论既包含描述基本粒子的费米子场，也包含传递相互作用的规范玻色子场，必须实现对这两种自由度的模拟；为了保证因果结构，必须在低能、非相对论性的多体量子体系中实现相对论性的洛伦茨不变性；同时还必须实现局域的规范不变性的模拟，这是“规范荷”守恒和相互作用性质的要求，例如在量子电动力学中，需要保证电荷守恒和高斯定律。

在超冷原子体系中模拟规范不变性

量子电动力学、量子色动力学等规范理论是时空连续的，因此对其进行非微扰处理时会遇到无限维路径积分的计算，这使得问题变得棘手。而格点规范理论（Lattice Gauge Theories，LGT）将时空离散化，即以有限的格点上的物理量来替代连续时空中的场，格点通过链路（link）相连。通常，费米场（物质场）被定义在格点上，而玻色场（传递相互作用）被定义在链路上。通过把四维欧几里得时空离散化，路径积分变成了有限维，方便使用蒙特卡洛等模拟方法对问题进行数值求解。格点规范理论是处理量子场论最有效的非微扰方法之一，同时与连续的规范理论相比，也更适合于用光晶格体系对其进行量子模拟。

量子链路模型（Quantum Link Models，QLMs）的表述形式很好地把握住了量子电动力学的核心特征，且特别适合光晶格体系对规范理论的模拟。采用格点链路Schwinger模型，物质场、规范场及其相互作用被变换为实验中的粒子数产生、湮灭算符。

规范场应用

规范场不是虚无的，是实实在在的物理存在。一个最常见的规范场例子就是电磁场。对照前面的函数变换，f（x）=ψ（x）为电子的波函数，变换函数表示对波函数进行相位变换（即基于U（1）群的旋转变换，θ（x）为相位角）。注意这里引入了复数，因此在A前面乘以一个虚数i，设，通过计算可知A′=A-dθ（x）。由此引入的规范场A即为“电磁场”，电磁场的振荡即为“光子”。

规范场论是标准模型的理论框架。标准模型是规范场论在粒子物理学中的具体应用，以李群为规范群，用于描述基本粒子及其相互作用，包括描述电磁力的量子电动力学、描述弱力的弱电理论及描述强力的量子色动力学。这些理论都是基于规范对称性的，统称为“大统一理论”。规范对称性决定了相互作用的类型和性质，以及对应的规范粒子（玻色子）。例如：在量子电动力学中，U（1）群的生成元只有1个，产生的规范粒子为光子；在弱电理论中，SU（2）群的生成元为3个，产生的规范粒子为W+、W-和Z玻色子；在量子色动力学中，SU（3）群的生成元为8个，产生的规范粒子为胶子。

波兰数学家特劳特曼和美国物理学家卢斯首先注意到规范场和纤维丛之间的关联，最早使用纤维丛上的联络来理解规范场。杨振宁和吴大俊进一步明确了规范场的几何与拓扑意义，建立了规范场与纤维丛的对应关系（表1）[6]，随后逐渐引起数学家和物理学家的重视，在当代数学和物理学中产生了深远的影响。

信息科学领域

规范场论在信息科学应用中受到广泛关注，尤其在机器学习领域，大数据处理方法与规范对称性密切相关。例如，图神经网络是一种用于处理图形数据的深度学习技术，图的节点在空间中任意排列而不改变图的性质，这就是一种规范对称性。在诸多优化问题和机器学习算法中（如线性回归、最小二乘法等）常用到矩阵的赝反性质。赝反矩阵在左乘或右乘原矩阵后，会得到单位矩阵，这与规范理论中的规范变换具有某种相似性。此外，在深度学习中，等变性和不变性是非常重要的概念，用于保持神经网络对输入数据的某些变化（如旋转、缩放或平移）的敏感性或不敏感性，这与规范场论中的规范不变性直接相关。

经济学和金融领域

规范场论在经济学和金融领域中也有重要的应用。同物理学中粒子间的相互作用类似，在经济学中同样需要研究个人、单位、政府、市场、资源、货币等多元素之间的相互作用。规范场论和经济学都依赖于基于规范对称性的数学模型来理解和预测现象。物理学家使用数学方程来描述规范对称性和相互作用，经济学家使用数学模型来描述供需关系等经济现象。在规范场论中，物理系统往往在各种相互作用下达到一种动态平衡状态，经济学也有类似的概念（如市场均衡）。

哲学领域

规范场背后还蕴含着深刻的哲学思想。自然哲学是对自然界进行理性探索的哲学分支，主要研究自然现象及其成因。科学家和哲学家都对自然现象的本质进行了深入的思考。例如，形而上学是一种哲学思维方式，试图探寻事物的本质，以及现象背后的基本原则。在某种程度上，规范场论也在试图解答这些问题，通过揭示自然法则的最基本对称性，来理解对称性如何决定了物质的性质和行为。

发展探索

规范场使物理规律在经过不同的变换后仍能保持自身的一致性和守恒性，使变换背后隐藏的“协变性”被呈现出来，以揭示系统中不同组元之间的内在关联和相互作用，进而发现物理定律，创造新理论并解释新现象(如理解基本粒子的生成、描述粒子的运动等）。虽然规范场的思想起源于广义相对论，但严格来说广义相对论本身并不是一个基于杨-米尔斯规范对称性的规范理论，引力是由时空的曲率产生的，而不是由传递粒子产生的，所以广义相对论中没有对应的规范玻色子。物理学家一直在探寻一个包括引力在内的统一的规范场论。例如，量子引力理论试图将引力纳入规范场论，为理解时空提供一个全新的视角。在弦律中，引力由一个二次酉群所描述，其生成元数为1，对应的规范玻色子是引力子。随着人类对未知领域的探索，物理学需要新一轮的革命，其中，对称性和规范性是理解自然现象的关键。